微积分学示例

$\ln ({(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

将对数的自变量设为零。

${(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $7 x^{9} + 4 x$ 设为等于 $0$ 。

$7 x^{9} + 4 x = 0$

解题步骤 1.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $7 x^{9} + 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $7 x^{9}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (7 x^{8}) + 4 x = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (7 x^{8}) + x \cdot 4 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $x (7 x^{8}) + x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (7 x^{8} + 4) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$7 x^{8} + 4 = 0$

解题步骤 1.2.2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.2.4

将 $7 x^{8} + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.4.1

将 $7 x^{8} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$7 x^{8} + 4 = 0$

解题步骤 1.2.2.4.2

求解 $x$ 的 $7 x^{8} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.2.4.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$7 x^{8} = - 4$

解题步骤 1.2.2.4.2.2

将 $7 x^{8} = - 4$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.4.2.2.1

将 $7 x^{8} = - 4$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x^{8}}{7} = \frac{- 4}{7}$

解题步骤 1.2.2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.4.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x^{8}}{7} = \frac{- 4}{7}$

解题步骤 1.2.2.4.2.2.2.1.2

用 $x^{8}$ 除以 $1$ 。

$x^{8} = \frac{- 4}{7}$

解题步骤 1.2.2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{8} = - \frac{4}{7}$

解题步骤 1.2.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

解题步骤 1.2.2.4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.2.4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

解题步骤 1.2.2.4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

解题步骤 1.2.2.4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}, - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

解题步骤 1.2.2.5

最终解为使 $x (7 x^{8} + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}, - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

解题步骤 1.2.3

排除不能使 ${(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}} = 0$ 成立的解。

$x = 0$

解题步骤 1.3

垂直渐近线出现在 $x = 0$ 。

垂直渐近线： $x = 0$

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \ln ({(7 {(1)}^{9} + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \ln ({(7 \cdot 1 + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 2.2.1.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \ln ({(7 + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 2.2.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \ln ({(7 + 4)}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 2.2.2

将 $7$ 和 $4$ 相加。

$f (1) = \ln (11^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $\ln (11^{\frac{9}{5}})$ 。

$\ln (11^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 2.3

把 $\ln (11^{\frac{9}{5}})$ 转换成小数。

$y = 4.31621149$

解题步骤 3

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \ln ({(7 {(2)}^{9} + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $2$ 进行 $9$ 次方运算。

$f (2) = \ln ({(7 \cdot 512 + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 3.2.1.2

将 $7$ 乘以 $512$ 。

$f (2) = \ln ({(3584 + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 3.2.1.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \ln ({(3584 + 8)}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 3.2.2

将 $3584$ 和 $8$ 相加。

$f (2) = \ln (3592^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $\ln (3592^{\frac{9}{5}})$ 。

$\ln (3592^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 3.3

把 $\ln (3592^{\frac{9}{5}})$ 转换成小数。

$y = 14.73563597$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \ln ({(7 {(3)}^{9} + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $3$ 进行 $9$ 次方运算。

$f (3) = \ln ({(7 \cdot 19683 + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 4.2.1.2

将 $7$ 乘以 $19683$ 。

$f (3) = \ln ({(137781 + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 4.2.1.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \ln ({(137781 + 12)}^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 4.2.2

将 $137781$ 和 $12$ 相加。

$f (3) = \ln (137793^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $\ln (137793^{\frac{9}{5}})$ 。

$\ln (137793^{\frac{9}{5}})$

解题步骤 4.3

把 $\ln (137793^{\frac{9}{5}})$ 转换成小数。

$y = 21.3003141$

解题步骤 5

可以使用 $x = 0$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 4.31621149), (2, 14.73563597), (3, 21.3003141)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4.316 \\ 2 & 14.736 \\ 3 & 21.3 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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