微积分学示例

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

求 $y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x > 0$

解题步骤 1.2

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 1.3

将 $\frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 1.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $0$ 代入 $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{\ln (0) \sqrt{0}}{0}$

解题步骤 2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

$f (0) = Undefined$

无定义

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(0, Undefined)$ 。

$(0, Undefined)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ 。在本例中，该点为 $(1, 0)$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{\ln (1) \sqrt{1}}{1}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

用 $\ln (1) \sqrt{1}$ 除以 $1$ 。

$f (1) = \ln (1) \sqrt{1}$

解题步骤 4.1.2.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = 0 \sqrt{1}$

解题步骤 4.1.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = 0 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 4.1.2.5

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ 。在本例中，该点为 $(2, \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $\frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$ 。

$y = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.49)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.49 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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