微积分学示例

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ 无定义。

$x \leq 0$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 1.3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 1.3.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.3.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 1.3.1.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 1.3.1.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 1.3.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 1.3.1.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 1.3.1.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

解题步骤 1.3.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 1.3.1.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{e^{x}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

解题步骤 1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x e^{x}}$ 趋于 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 1.5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = 0$

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = 0$

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{\ln (1)}{e^{1}}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = \frac{0}{e}$

解题步骤 2.2.2

用 $0$ 除以 $e$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.3

把 $0$ 转换成小数。

$y = 0$

解题步骤 3

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

解题步骤 3.2

最终答案为 $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ 。

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

解题步骤 3.3

把 $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ 转换成小数。

$y = 0.09380727$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

解题步骤 4.2

最终答案为 $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ 。

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

解题步骤 4.3

把 $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ 转换成小数。

$y = 0.05469668$

解题步骤 5

可以使用 $x = 0$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

解题步骤 6

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