微积分学示例

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

解题步骤 1

求渐近线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将对数的自变量设为零。

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2.2

将 $a = 3$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.1.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.1.7

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

解题步骤 1.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 1.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.1.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.1.7

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

解题步骤 1.2.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 1.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 1.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.1.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.1.7

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

解题步骤 1.2.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 1.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 1.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 1.3

垂直渐近线出现在 $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ 。

垂直渐近线： $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

解题步骤 2.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

解题步骤 2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

解题步骤 2.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f (1) = \ln (1 + 1)$

解题步骤 2.2.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \ln (2)$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $\ln (2)$ 。

$\ln (2)$

解题步骤 2.3

把 $\ln (2)$ 转换成小数。

$y = 0.69314718$

解题步骤 3

求在 $x = 2$ 处的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

解题步骤 3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

解题步骤 3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

解题步骤 3.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$f (2) = \ln (8 + 1)$

解题步骤 3.2.2.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = \ln (9)$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $\ln (9)$ 。

$\ln (9)$

解题步骤 3.3

把 $\ln (9)$ 转换成小数。

$y = 2.19722457$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

通过指数相加将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.1

将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

解题步骤 4.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

解题步骤 4.2.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

解题步骤 4.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

解题步骤 4.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

从 $27$ 中减去 $6$ 。

$f (3) = \ln (21 + 1)$

解题步骤 4.2.2.2

将 $21$ 和 $1$ 相加。

$f (3) = \ln (22)$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $\ln (22)$ 。

$\ln (22)$

解题步骤 4.3

把 $\ln (22)$ 转换成小数。

$y = 3.09104245$

解题步骤 5

可以使用 $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例