微积分学示例

$\ln (1 + x^{2})$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

将对数的自变量设为零。

$1 + x^{2} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 1.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 1.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 1.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 1.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 1.3

垂直渐近线出现在 $x = i, x = - i$ 。

垂直渐近线： $x = i, x = - i$

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \ln (1 + {(1)}^{2})$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \ln (1 + 1)$

解题步骤 2.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \ln (2)$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $\ln (2)$ 。

$\ln (2)$

解题步骤 2.3

把 $\ln (2)$ 转换成小数。

$y = 0.69314718$

解题步骤 3

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \ln (1 + {(2)}^{2})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = \ln (1 + 4)$

解题步骤 3.2.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f (2) = \ln (5)$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $\ln (5)$ 。

$\ln (5)$

解题步骤 3.3

把 $\ln (5)$ 转换成小数。

$y = 1.60943791$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \ln (1 + {(3)}^{2})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = \ln (1 + 9)$

解题步骤 4.2.2

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$f (3) = \ln (10)$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $\ln (10)$ 。

$\ln (10)$

解题步骤 4.3

把 $\ln (10)$ 转换成小数。

$y = 2.30258509$

解题步骤 5

可以使用 $x = i, x = - i$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 0.69314718), (2, 1.60943791), (3, 2.30258509)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = i, x = - i$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 1.609 \\ 3 & 2.303 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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