微积分学示例

$y = 6 x^{2} - x^{3}$ , $(1, 5)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 5$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $6 x^{2} - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 x - (3 x^{2})$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$12 x - 3 x^{2}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$- 3 x^{2} + 12 x$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- 3 {(1)}^{2} + 12 (1)$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

一的任意次幂都为一。

$- 3 \cdot 1 + 12 (1)$

解题步骤 1.6.1.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 + 12 (1)$

解题步骤 1.6.1.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$- 3 + 12$

解题步骤 1.6.2

将 $- 3$ 和 $12$ 相加。

$9$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $9$ 和给定点 $(1, 5)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (5) = 9 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 5 = 9 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $9 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 5 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 5 = 9 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 5 = 9 x + 9 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 5 = 9 x - 9$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$y = 9 x - 9 + 5$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 9$ 和 $5$ 相加。

$y = 9 x - 4$

解题步骤 3

微积分学 示例

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