微积分学示例

$x^{2} + x y - y^{2} = - 1$ , $(1, 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

求微分。

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解题步骤 1.2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + x y - y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$2 x + x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x + x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + x y' + y - (2 y y')$

解题步骤 1.2.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x + x y' + y - 2 y y'$

解题步骤 1.2.4

重新排序项。

$x y' - 2 y y' + 2 x + y$

解题步骤 1.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x y' - 2 y y' + 2 x + y = 0$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.5.1.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$x y' - 2 y y' + y = - 2 x$

解题步骤 1.5.1.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' - 2 y y' = - 2 x - y$

解题步骤 1.5.2

从 $x y' - 2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x - 2 y y' = - 2 x - y$

解题步骤 1.5.2.2

从 $- 2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 2 x - y$

解题步骤 1.5.2.3

从 $y' (x) + y' (- 2 y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$

解题步骤 1.5.3

将 $y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ 中的每一项除以 $x - 2 y$ 并化简。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ 中的每一项都除以 $x - 2 y$ 。

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

解题步骤 1.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $x - 2 y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

解题步骤 1.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 2 x - y}{x - 2 y}$

解题步骤 1.5.3.3.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x - 2 y}$

解题步骤 1.5.3.3.3

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x - 2 y}$

解题步骤 1.5.3.3.4

从 $- (2 x) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x - 2 y}$

解题步骤 1.5.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.5.3.3.5.1

将 $- (2 x + y)$ 重写为 $- 1 (2 x + y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x - 2 y}$

解题步骤 1.5.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 1$ 和 $y = 2$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{2 (1) + y}{(1) - 2 y}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $y$ 。

$- \frac{2 (1) + 2}{(1) - 2 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.3

去掉圆括号。

$- \frac{2 (1) + 2}{(1) - 2 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.4

化简分子。

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解题步骤 1.7.4.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 + 2}{1 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{4}{1 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.5

化简分母。

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解题步骤 1.7.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{4}{1 - 4}$

解题步骤 1.7.5.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- \frac{4}{- 3}$

解题步骤 1.7.6

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{4}{3}$

解题步骤 1.7.7

乘以 $- - \frac{4}{3}$ 。

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解题步骤 1.7.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{4}{3})$

解题步骤 1.7.7.2

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{4}{3}$ 和给定点 $(1, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = \frac{4}{3} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = \frac{4}{3} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{4}{3} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{4}{3} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 2 = \frac{4}{3} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 2 = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x$ 。

$y - 2 = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $\frac{4}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $- 1$ 。

$y - 2 = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 2 = \frac{4 x}{3} + \frac{- 4}{3}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - 2 = \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 6}{3}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $- 4$ 和 $6$ 相加。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{4}{3} x + \frac{2}{3}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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