微积分学示例

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 4$ 且 $g (x) = y$ 。

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 1.2.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

解题步骤 1.2.7

化简。

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解题步骤 1.2.7.1

运用分配律。

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

解题步骤 1.2.7.2

重新排序项。

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

解题步骤 1.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

解题步骤 1.5.2

从 $x^{2} y' + 4 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $x^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

解题步骤 1.5.2.2

从 $4 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

解题步骤 1.5.2.3

从 $y' x^{2} + y' \cdot 4$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

解题步骤 1.5.3

将 $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ 中的每一项除以 $x^{2} + 4$ 并化简。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 4$ 。

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $x^{2} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 2$ 和 $y = 1$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $y$ 。

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

解题步骤 1.7.3

化简分母。

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解题步骤 1.7.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

解题步骤 1.7.3.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

解题步骤 1.7.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.7.4.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

解题步骤 1.7.4.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

解题步骤 1.7.4.2.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.4.2.3

约去公因数。

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.4.2.4

重写表达式。

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7.4.3

将 $- 1 (\frac{1}{2})$ 重写为 $- (\frac{1}{2})$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{1}{2}$ 和给定点 $(2, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

解题步骤 2.3.1.5.3

约去公因数。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.4

重写表达式。

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = - \frac{x}{2} + 2$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

解题步骤 3

微积分学 示例

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