微积分学示例

$y = \frac{18}{x^{2} + 2}$ , $(1, 6)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 6$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{18}{x^{2} + 2}$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ 。

$18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{x^{2} + 2}$ 重写为 ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ 。

$18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

$18 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$18 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$18 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $18$ 。

$- 18 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 1.3.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 18$ 。

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

解题步骤 1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 36 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

解题步骤 1.4.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.1

组合 $- 36$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{- 36}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

解题步骤 1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{36}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

解题步骤 1.4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{36}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ 。

$- \frac{x \cdot 36}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2.4

将 $36$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{36 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- \frac{36 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{36}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.6.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.2.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{36}{{(1 + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{36}{3^{2}}$

解题步骤 1.6.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{36}{9}$

解题步骤 1.6.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.3.1

用 $36$ 除以 $9$ 。

$- 1 \cdot 4$

解题步骤 1.6.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用斜率 $- 4$ 和给定点 $(1, 6)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (6) = - 4 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 6 = - 4 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简 $- 4 \cdot (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 6 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 6 = - 4 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 6 = - 4 x - 4 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 6 = - 4 x + 4$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$y = - 4 x + 4 + 6$

解题步骤 2.3.2.2

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$y = - 4 x + 10$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例