微积分学示例

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 1.2.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 1.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 1.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

解题步骤 1.2.6

化简。

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解题步骤 1.2.6.1

运用分配律。

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

解题步骤 1.2.6.2

重新排序项。

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.3.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

化简左边。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ 中的因式重新排序。

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

解题步骤 1.5.2

从等式两边同时减去 $y \sec^{2} (x y)$ 。

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

解题步骤 1.5.3

将 $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ 中的每一项除以 $x \sec^{2} (x y)$ 并化简。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ 中的每一项都除以 $x \sec^{2} (x y)$ 。

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

解题步骤 1.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $\sec^{2} (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

解题步骤 1.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.3.3.1.1

约去 $\sec^{2} (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.3.1.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

解题步骤 1.5.3.3.1.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 1$ 和 $y = 0$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $y$ 。

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3

化简每一项。

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解题步骤 1.7.3.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3.3

将 $\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3.4

将 $\sec ((1) \cdot (0))$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ 。

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3.6

化简。

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解题步骤 1.7.3.6.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3.6.2

将 $\cos (0)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1^{2} - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3.8

一的任意次幂都为一。

$1 - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.7.3.9

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 - 0$

解题步骤 1.7.3.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.7.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(1, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$y = x - 1$

解题步骤 3

微积分学 示例

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