微积分学示例

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 10 x$ , $(0, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 10 x)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $y^{4} + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2

重新排序项。

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $y^{2} + 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 1.3.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 1.3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 1.3.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 1.3.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 y y' + 10 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 y y' + 10 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$2 y y' + 10$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 10$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

从等式两边同时减去 $2 y y'$ 。

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 10$

解题步骤 1.5.2

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 10 - 3 x^{2}$

解题步骤 1.5.3

从 $4 y^{3} y' - 2 y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

从 $4 y^{3} y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 10 - 3 x^{2}$

解题步骤 1.5.3.2

从 $- 2 y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 10 - 3 x^{2}$

解题步骤 1.5.3.3

从 $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 10 - 3 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

将 $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 10 - 3 x^{2}$ 中的每一项除以 $2 y (2 y^{2} - 1)$ 并化简。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 10 - 3 x^{2}$ 中的每一项都除以 $2 y (2 y^{2} - 1)$ 。

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.2.3

约去 $2 y^{2} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.3.1.1

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.3.1.1.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 \cdot 5}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.4.3.1.1.2.1

从 $2 y (2 y^{2} - 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 \cdot 5}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 \cdot 5}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 0$ 和 $y = 1$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $y$ 。

$\frac{5}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7.3

化简每一项。

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解题步骤 1.7.3.1

将 $2 \cdot 1^{2} - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7.3.2

化简分母。

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解题步骤 1.7.3.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{5}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7.3.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7.3.2.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{5}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7.3.3

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7.3.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$5 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7.3.6

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$5 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

解题步骤 1.7.3.7

化简分母。

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解题步骤 1.7.3.7.1

一的任意次幂都为一。

$5 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

解题步骤 1.7.3.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

解题步骤 1.7.3.7.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$5 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 - \frac{0}{2}$

解题步骤 1.7.3.9

用 $0$ 除以 $2$ 。

$5 - 0$

解题步骤 1.7.3.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$5 + 0$

解题步骤 1.7.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $5$ 和给定点 $(0, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = 5 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = 5 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 1 = 5 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 5 x + 1$

解题步骤 3

微积分学 示例

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