微积分学示例

$y = \sin (x)$ , $y = \cos (x)$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\sin (x) = \cos (x)$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

约去公因数。

$\tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.3.2

重写表达式。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 1.2.5

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.6

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.7.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 1.2.7.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 1.2.7.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 1.2.8

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.2.8.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.9

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

当 $x = \frac{π}{4} + π n$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $\frac{π}{4} + π n$ 替换 $x$ 。

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n)$

解题步骤 1.3.2

去掉圆括号。

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n)$

解题步骤 1.4

当 $x = \frac{5 π}{4} + π n$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $\frac{5 π}{4} + π n$ 替换 $x$ 。

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

解题步骤 1.4.2

去掉圆括号。

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

解题步骤 1.5

列出所有解。

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n), x = \frac{π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n), x = \frac{5 π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n), x = \frac{π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n), x = \frac{5 π}{4} + π n$

解题步骤 2

给定曲线之间的面积无界。

无界区域

解题步骤 3

微积分学 示例

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