微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 8 + h)}^{2} - 64}{h}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 8 + h)}^{2} - 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 8 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.2

使用极限幂法则把 ${(- 8 + h)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{h \to 0} - 8 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(- lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.4

计算 $8$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(- 1 \cdot 8 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $64$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(- 1 \cdot 8 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{{(- 1 \cdot 8 + 0)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{{(- 8 + 0)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 8$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64 - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$\frac{64 - 64}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $64$ 中减去 $64$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 8 + h)}^{2} - 64}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 8 + h)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 8 + h)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.2

将 ${(- 8 + h)}^{2}$ 重写为 $(- 8 + h) (- 8 + h)$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(- 8 + h) (- 8 + h) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(- 8 + h) (- 8 + h)$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

运用分配律。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 8 (- 8 + h) + h (- 8 + h) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.2

运用分配律。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 8 \cdot - 8 - 8 h + h (- 8 + h) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.3

运用分配律。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 8 \cdot - 8 - 8 h + h \cdot - 8 + h \cdot h - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1.1

将 $- 8$ 乘以 $- 8$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [64 - 8 h + h \cdot - 8 + h \cdot h - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.1.2

将 $- 8$ 移到 $h$ 的左侧。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [64 - 8 h - 8 \cdot h + h \cdot h - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.1.3

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [64 - 8 h - 8 h + h^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.2

从 $- 8 h$ 中减去 $8 h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [64 - 16 h + h^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $64 - 16 h + h^{2} - 64$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 64]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6

因为 $64$ 对于 $h$ 是常数，所以 $64$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d h} [- 16 h]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

因为 $- 16$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 16 h$ 对 $h$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 16 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.7.3

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 16 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 16 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 64$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 64$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 16 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.10

化简。

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解题步骤 1.3.10.1

合并项。

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解题步骤 1.3.10.1.1

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 16 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.10.1.2

将 $- 16 + 2 h$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{- 16 + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.10.2

重新排序项。

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{1}$

解题步骤 1.4

用 $2 h - 16$ 除以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} 2 h - 16$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 16$

解题步骤 2.2

因为项 $2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 16$

解题步骤 2.3

计算 $16$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 16$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 16$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 - 1 \cdot 16$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$0 - 16$

解题步骤 4.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$- 16$

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