微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} + 7 x - 5}{5 x^{2} - 6 x + 4}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.1.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 + \frac{x \cdot - 6}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 + \frac{- 6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 2.6

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 6.2

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 - 6 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

解题步骤 8

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 - 6 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 9

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 + 0 - 5 \cdot 0}{5 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 10.1.2

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 + 0 + 0}{5 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 10.1.3

将 $4 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 + 0}{5 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 10.1.4

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{5 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{5 + 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 10.2.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{5 + 0 + 0}$

解题步骤 10.2.3

将 $5 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{5 + 0}$

解题步骤 10.2.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{5}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4}{5}$

小数形式：

$0.8$

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