微积分学示例

$lim_{x \to 10} \frac{x - 10}{\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 10} x - 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $10$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 10} x - lim_{x \to 10} 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $10$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 10} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{10 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $10$ 中减去 $10$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - \sqrt{20 - x}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $10$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 10} \sqrt{x} - lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}$

解题步骤 1.1.3.2

将极限移入根号内。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}$

解题步骤 1.1.3.3

将极限移入根号内。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - \sqrt{lim_{x \to 10} 20 - x}}$

解题步骤 1.1.3.4

当 $x$ 趋于 $10$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - \sqrt{lim_{x \to 10} 20 - lim_{x \to 10} x}}$

解题步骤 1.1.3.5

计算 $20$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $10$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 10} x} - \sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}$

解题步骤 1.1.3.6

将 $10$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt{10} - \sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt{10} - \sqrt{20 - 10}}$

解题步骤 1.1.3.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.7.1

从 $20$ 中减去 $10$ 。

$\frac{0}{\sqrt{10} - \sqrt{10}}$

解题步骤 1.1.3.7.2

从 $\sqrt{10}$ 中减去 $\sqrt{10}$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 10} \frac{x - 10}{\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}} = lim_{x \to 10} \frac{\frac{d}{d x} [x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 10} \frac{\frac{d}{d x} [x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $\sqrt{x} - \sqrt{20 - x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.7.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.7.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.7.5

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.7.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.7.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.7.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.7.7

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{20 - x}]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{20 - x}$ 重写成 ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.8.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(20 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(20 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.8.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 20 - x$ 。

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解题步骤 1.3.8.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $20 - x$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x])}$

解题步骤 1.3.8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x])}$

解题步骤 1.3.8.3.3

使用 $20 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x])}$

解题步骤 1.3.8.4

根据加法法则， $20 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

解题步骤 1.3.8.5

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

解题步骤 1.3.8.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

解题步骤 1.3.8.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

解题步骤 1.3.8.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

解题步骤 1.3.8.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

解题步骤 1.3.8.10

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

解题步骤 1.3.8.11

化简分子。

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解题步骤 1.3.8.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

解题步骤 1.3.8.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

解题步骤 1.3.8.12

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

解题步骤 1.3.8.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

解题步骤 1.3.8.14

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

解题步骤 1.3.8.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{{(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

解题步骤 1.3.8.16

组合 $\frac{{(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{{(20 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

解题步骤 1.3.8.17

将 $- 1$ 移到 ${(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1 \cdot {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.3.8.18

将 $- 1 {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 重写为 $- {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- {(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.3.8.19

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(20 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.8.20

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.8.21

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.8.22

将 $\frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.9

化简。

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解题步骤 1.3.9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.9.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 1.4.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 {(20 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4.2

将 ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{20 - x}$ 。

$lim_{x \to 10} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $10$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 10} 1}{lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $10$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $10$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2.4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 10} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $10$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 10} 1}{lim_{x \to 10} \sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $10$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 10} \sqrt{x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2.7

将极限移入根号内。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + lim_{x \to 10} \frac{1}{2 \sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2.8

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 10} \frac{1}{\sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2.9

当 $x$ 趋于 $10$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 10} 1}{lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2.10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $10$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 10} \sqrt{20 - x}}}$

解题步骤 2.11

将极限移入根号内。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} 20 - x}}}$

解题步骤 2.12

当 $x$ 趋于 $10$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} 20 - lim_{x \to 10} x}}}$

解题步骤 2.13

计算 $20$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $10$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 10} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}}$

解题步骤 3

将 $10$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{20 - lim_{x \to 10} x}}}$

解题步骤 3.2

将 $10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{20 - 10}}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

从 $20$ 中减去 $10$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2.2

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2.3

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2.6

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 4.2.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.2.6.5

计算指数。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.3

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.4

将 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})}$

解题步骤 4.2.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.5.2

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}}$

解题步骤 4.2.5.3

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}}$

解题步骤 4.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}}$

解题步骤 4.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}}$

解题步骤 4.2.5.6

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 4.2.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

解题步骤 4.2.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

解题步骤 4.2.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 4.2.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 4.2.5.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10^{1}}}$

解题步骤 4.2.5.6.5

计算指数。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}}$

解题步骤 4.2.6

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 10}}$

解题步骤 4.2.6.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{20} + \frac{\sqrt{10}}{20}}$

解题步骤 4.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10} + \sqrt{10}}{20}}$

解题步骤 4.2.8

以因式分解的形式重写 $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{10}}{20}$ 。

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解题步骤 4.2.8.1

将 $\sqrt{10}$ 和 $\sqrt{10}$ 相加。

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{10}}{20}}$

解题步骤 4.2.8.2

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 \sqrt{10}}{20}$ 。

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解题步骤 4.2.8.2.1

从 $2 \sqrt{10}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{2 (\sqrt{10})}{20}}$

解题步骤 4.2.8.2.2

从 $20$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 10}}$

解题步骤 4.2.8.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 10}}$

解题步骤 4.2.8.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$

解题步骤 4.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{10}{\sqrt{10}}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{10}{\sqrt{10}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{10}{\sqrt{10}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{10}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\frac{10}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

解题步骤 4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{10}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 4.6.2

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

解题步骤 4.6.3

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

解题步骤 4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{10 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

解题步骤 4.6.6

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 4.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{10 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.6.4.1

约去公因数。

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4.2

重写表达式。

$\frac{10 \sqrt{10}}{10^{1}}$

解题步骤 4.6.6.5

计算指数。

$\frac{10 \sqrt{10}}{10}$

解题步骤 4.7

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.1

约去公因数。

$\frac{10 \sqrt{10}}{10}$

解题步骤 4.7.2

用 $\sqrt{10}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{10}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{10}$

小数形式：

$3.16227766 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例