微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + 0}$

解题步骤 1.3.6

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 1.5

合并因数。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{2 x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (2 x)}$

解题步骤 1.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 (x^{1} x)}$

解题步骤 1.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 (x^{1} x^{1})}$

解题步骤 1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

解题步骤 1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x^{2}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

解题步骤 2.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1^{2}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

合并。

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

解题步骤 4.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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