微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} + 3 x}) + 2 x$

解题步骤 1

相乘以使分子有理化。

$lim_{x \to - \infty} \frac{((\sqrt{4 x^{2} + 3 x}) + 2 x) (\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 FOIL（先外后内）展开分子。

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{4 x^{2} + 3 x}}^{2} + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (- 2 x) + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (2 x) - 4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 0}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

解题步骤 2.2.2

将 $3 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

从 $4 x^{2} + 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + 3 x} - 2 x}$

解题步骤 3.1.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + x \cdot 3} - 2 x}$

解题步骤 3.1.3

从 $x (4 x) + x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

解题步骤 3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

解题步骤 4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

解题步骤 5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

约去公因数。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

解题步骤 5.1.2

重写表达式。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

解题步骤 5.2

约去 $x$ 的公因数。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} - 2}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

解题步骤 7.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 7.4

将极限移入根号内。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 8

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

约去公因数。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 9.1.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 9.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 9.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 9.4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 9.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 9.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 11

计算极限值。

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解题步骤 11.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

解题步骤 11.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.3

化简答案。

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解题步骤 11.3.1

用 $4 + 3 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.3.2

化简分母。

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解题步骤 11.3.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 0} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.3.2.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$3 \frac{1}{- \sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.3.2.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$3 \frac{1}{- \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.3.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.3.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 \frac{1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.3.2.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 \frac{1}{- 2 - 2}$

解题步骤 11.3.2.7

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$3 (\frac{1}{- 4})$

解题步骤 11.3.3

将负号移到分数的前面。

$3 (- \frac{1}{4})$

解题步骤 11.3.4

乘以 $3 (- \frac{1}{4})$ 。

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解题步骤 11.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 (\frac{1}{4})$

解题步骤 11.3.4.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{- 3}{4}$

解题步骤 11.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{4}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3}{4}$

小数形式：

$- 0.75$

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