微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (3 x)}$

解题步骤 1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

解题步骤 2.1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.1.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 2.1.3.1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

解题步骤 2.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$2 \frac{0}{\tan (0)}$

解题步骤 2.1.3.3.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 2.3.3.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

解题步骤 2.3.7

将 $3$ 移到 $\sec^{2} (3 x)$ 的左侧。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{2} (3 x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x)}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

解题步骤 3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

解题步骤 3.4

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (3 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 3.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.2

合并。

$\frac{2 \cdot 1}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.4

化简分母。

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解题步骤 5.4.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{3 \sec^{2} (0)}$

解题步骤 5.4.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2}{3 \cdot 1^{2}}$

解题步骤 5.4.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

解题步骤 5.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

微积分学 示例

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