微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x - 1)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{\cos (x - 1)}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$lim_{x \to 0} \cos (x - 1) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.2

将 $\cos (x - 1)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x - 1)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

用 $\cos (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \cos (x - 1) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \cos (x - 1) \csc (x)$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (x - 1) \csc (x)$

解题步骤 3

当 $x$ 的值从左侧趋于 $0$ 时，函数值无限递减。

$- \infty$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (x - 1) \csc (x)$

解题步骤 5

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\infty$

解题步骤 6

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例