微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\arcsin (x)$ 的极限值。

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

$\arcsin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 2.3

将极限移入根号内。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

解题步骤 2.6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0}}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 4.1.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 4.1.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 4.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

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