微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{1}{2} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简极限自变量。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.1.2

合并项。

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解题步骤 1.1.2.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 1 \cdot 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.3

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 2 + x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- 2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (0) + \frac{1}{2} (- 2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (0) + \frac{1}{2} (- 2 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.8.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 + \frac{1}{2} (- 2 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.8.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1 + \frac{1}{2} (- 2 + 0)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.8.1.3

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot - 2}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.8.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.8.1.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.8.1.4.2

约去公因数。

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.8.1.4.3

重写表达式。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.2.8.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{4}}$

解题步骤 2.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2) + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.3

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2) - 1 (- x^{2})}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.4

从 $- 1 (2) - 1 (- x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2 - x^{2})}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.5

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.6

根据加法法则， $\cos (x) - \frac{2 - x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.7

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.8.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 - x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.2

根据加法法则， $2 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.7

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.8

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 (\frac{1}{2}) x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.9

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2}{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.10

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.8.11.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.8.11.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.9

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 2.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{4 x^{3}}$

解题步骤 3

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 4.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 4.1.2.4

化简答案。

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解题步骤 4.1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.4.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 4.1.2.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 4.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 4.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{3}}$

解题步骤 4.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $x - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 4.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 4.3.4.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{3 x^{2}}$

解题步骤 5

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

解题步骤 6

运用洛必达法则。

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解题步骤 6.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 6.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 6.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 6.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 6.1.2.1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 6.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 6.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 6.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 6.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 6.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 6.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 6.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 6.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 6.3.2

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 6.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 6.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 6.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 6.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 6.3.4.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 6.3.5

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 6.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

解题步骤 7

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

解题步骤 8

由于 $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ 和 $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ ，使用迫近定理。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 9.1.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 9.1.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 9.2

乘以 $\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 9.2.1

将 $\frac{1}{12}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{12 \cdot 2} \cdot 1$

解题步骤 9.2.2

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{24} \cdot 1$

解题步骤 9.3

将 $\frac{1}{24}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{24}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{24}$

小数形式：

$0.041\overline{6}$

微积分学 示例

微积分学示例