微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $a$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.7

计算 $a$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.8

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.9

合并 $\cos (a + 0) - \cos (a + 0)$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.2.9.1

将 $a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos (a) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.9.2

将 $a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.9.3

从 $\cos (a)$ 中减去 $\cos (a)$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\cos (a + x) - \cos (a - x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = a + x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $a + x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.1.3

使用 $a + x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2

根据加法法则， $a + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.3

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (a - x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = a - x$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $a - x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.2.3

使用 $a - x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.3

根据加法法则， $a - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.4

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.8

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (1 \sin (a - x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.10

将 $\sin (a - x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{1}$

解题步骤 1.4

用 $- \sin (a + x) - \sin (a - x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} - \sin (a + x) - \sin (a - x)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{x \to 0} \sin (a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

解题步骤 2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- \sin (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \sin (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

解题步骤 2.4

计算 $a$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

解题步骤 2.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - x)$

解题步骤 2.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 2.7

计算 $a$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \sin (a + 0) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

合并 $- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.1

将 $a$ 和 $0$ 相加。

$- \sin (a) - \sin (a + 0)$

解题步骤 4.1.2

将 $a$ 和 $0$ 相加。

$- \sin (a) - \sin (a)$

解题步骤 4.2

从 $- \sin (a)$ 中减去 $\sin (a)$ 。

$- 2 \sin (a)$

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