微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)}$

解题步骤 1

分子和分母同时乘以 $π x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x)}{\sin (π x) \cdot (π x)}$

解题步骤 2

分子和分母同时乘以 $x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x) \cdot x}{x \cdot \sin (π x) \cdot (π x)}$

解题步骤 3

分离分数。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot \frac{x}{π x}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时， $\frac{\sin (x)}{x}$ 的极限为 $1$ 。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.1.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.4

计算极限值。

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解题步骤 5.4.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.4.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 5.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时， $\frac{π x}{\sin (π x)}$ 的极限为 $1$ 。

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解题步骤 6.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1

取分子和分母极限值。

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} π x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.1.2.1

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$1 \cdot \frac{π lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 \cdot \frac{π \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.2.3

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 6.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 6.1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.3.1.2

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 6.1.3.3.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

解题步骤 6.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.3.1

对分子和分母进行求导。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.3.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.3.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 6.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $π x$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.3.5.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.3.5.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.3.6

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.3.8

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) π} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.3.9

重新排序 $\cos (π x) π$ 的因式。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.4

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.4.2

重写表达式。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{1}{\cos (π x)}$ 转换成 $\sec (π x)$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.6

计算极限值。

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解题步骤 6.6.1

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.6.2

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$1 \cdot \sec (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 \cdot \sec (π \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.8

化简答案。

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解题步骤 6.8.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 6.8.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 7

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{π}$

解题步骤 8

计算 $\frac{1}{π}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{π}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot \frac{1}{π}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{π}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{π}$

小数形式：

$0.31830988 \dots$

微积分学 示例

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