微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\tan (5 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (5 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

解题步骤 1.2

将 $\tan (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

解题步骤 1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 转换成 $\tan (3 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ 转换成 $\cot (5 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \cot (5 x)$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\tan (3 x) \cot (5 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.5662362 \\ - 0.01 & 0.59967983 \\ - 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.6$ 。因此， $\tan (3 x) \cot (5 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.6$ 。

$0.6$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $\tan (3 x) \cot (5 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.5662362 \\ 0.01 & 0.59967983 \\ 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.6$ 。因此， $\tan (3 x) \cot (5 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.6$ 。

$0.6$

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