微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.6

将 $3$ 移到 $\cos (3 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{2 x}$

解题步骤 2

因为函数从左边趋于 $- \infty$ 且从右边趋于 $\infty$ ，所以极限不存在。

$不存在$

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