微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{\tan (3 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

解题步骤 1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{\sin (4 x) \cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 转换成 $\sin (4 x) \cot (3 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \sin (4 x) \cot (3 x)$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \cot (3 x)$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\sin (4 x) \cot (3 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \cot (3 x) \\ - 0.1 & 1.25888363 \\ - 0.01 & 1.33257788 \\ - 0.001 & 1.33332577 \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1.333$ 。因此， $\sin (4 x) \cot (3 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1.333$ 。

$1.333$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \cot (3 x)$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $\sin (4 x) \cot (3 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \cot (3 x) \\ 0.1 & 1.25888363 \\ 0.01 & 1.33257788 \\ 0.001 & 1.33332577 \end{array}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1.333$ 。因此， $\sin (4 x) \cot (3 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1.333$ 。

$1.333$

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