微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{8 x}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1}$

解题步骤 2.4

用 $2 \cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{8} \cdot 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

解题步骤 3.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{8} \cdot 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

解题步骤 3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{8} \cdot 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{8} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (4)} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 5.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 5.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} \cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cos (0)$

解题步骤 5.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{4}$

小数形式：

$0.25$

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