微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

将极限移入指数中。

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

将极限移入指数中。

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{0} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{0} - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $3^{x} - 4^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [4^{x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - \frac{d}{d x} [4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{1}$

解题步骤 1.4

用 $3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

解题步骤 2.2

因为项 $\ln (3)$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\ln (3) lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

解题步骤 2.3

将极限移入指数中。

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

解题步骤 2.4

因为项 $\ln (4)$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) lim_{x \to 0} 4^{x}$

解题步骤 2.5

将极限移入指数中。

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{0}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\ln (3) \cdot 1 - \ln (4) \cdot 4^{0}$

解题步骤 4.1.2

将 $\ln (3)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 4^{0}$

解题步骤 4.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (3) - \ln (4)$

解题步骤 4.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{3}{4})$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (\frac{3}{4})$

小数形式：

$- 0.28768207 \dots$

微积分学 示例

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