微积分学示例

$lim_{x \to 0} {(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x^{2}}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $\ln (\frac{\sin (x)}{x})$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\frac{\sin (x)}{x})}{x^{2}}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

将极限移入对数中。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x})}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.2

由于 $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ 和 $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ ，使用迫近定理。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{0}{0^{2}}}$

解题步骤 3.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\frac{\sin (x)}{x})}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{\sin (x)}{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{\sin (x)}{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{\sin (x)}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $\frac{\sin (x)}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 \frac{x}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.4

将 $\frac{x}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.9

将 $\frac{x}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{\sin (x) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.10

约去公因数。

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解题步骤 3.3.10.1

从 $\sin (x) x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{x \sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.10.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{x \sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.10.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{\sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.11

重新排序项。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}}{2 x}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)} \cdot \frac{1}{2 x}}$

解题步骤 3.5

合并因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}$ 乘以 $\frac{1}{2 x}$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x) \cdot 2 x}}$

解题步骤 3.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1} x \sin (x) \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1} x^{1} \sin (x) \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1 + 1} \sin (x) \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x) \cdot 2}}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.6.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.6.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.6.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.2.6.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

解题步骤 5.1.3.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 5.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 5.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \sin (0)}}$

解题步骤 5.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 5.1.3.5.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sin (0)}}$

解题步骤 5.1.3.5.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 0}}$

解题步骤 5.1.3.5.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 5.1.3.5.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 5.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $x \cos (x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.3.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.4.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.5

化简。

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解题步骤 5.3.5.1

合并项。

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解题步骤 5.3.5.1.1

从 $\cos (x)$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.5.1.2

将 $x (- \sin (x))$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.5.2

重新排序 $x (- \sin (x))$ 的因式。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

解题步骤 5.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 5.3.7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 5.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}}$

解题步骤 5.3.9

重新排序项。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6

运用洛必达法则。

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解题步骤 6.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.1.2.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 6.1.2.5.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.2.5.2

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 6.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.3.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.3.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.3.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

解题步骤 6.1.3.7

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 6.1.3.8

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1.3.8.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 6.1.3.8.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 6.1.3.8.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 6.1.3.8.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

解题步骤 6.1.3.9

化简答案。

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解题步骤 6.1.3.9.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.3.9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

解题步骤 6.1.3.9.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

解题步骤 6.1.3.9.1.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

解题步骤 6.1.3.9.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot \sin (0)}}$

解题步骤 6.1.3.9.1.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot 0}}$

解题步骤 6.1.3.9.1.6

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0}}$

解题步骤 6.1.3.9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 6.1.3.9.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 6.1.3.10

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 6.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

解题步骤 6.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.6

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.7

运用分配律。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.8

根据加法法则， $x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ 。

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解题步骤 6.3.9.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.9.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.9.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.10

计算 $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ 。

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解题步骤 6.3.10.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]}}$

解题步骤 6.3.10.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}}$

解题步骤 6.3.10.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}}$

解题步骤 6.3.10.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)}}$

解题步骤 6.3.10.5

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x))}}$

解题步骤 6.3.11

化简。

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解题步骤 6.3.11.1

运用分配律。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 6.3.11.2

将 $\cos (x) (2 x)$ 和 $2 x \cos (x)$ 相加。

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解题步骤 6.3.11.2.1

移动 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + 2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 6.3.11.2.2

将 $2 x \cos (x)$ 和 $2 x \cos (x)$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 6.3.11.3

重新排序项。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7

运用洛必达法则。

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解题步骤 7.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 7.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 7.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 7.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.2.6.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.6.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.6.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.2.6.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 7.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.3.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.3.5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.3.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.3.7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.3.8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

解题步骤 7.1.3.9

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 7.1.3.10

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1.3.10.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 7.1.3.10.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 7.1.3.10.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 7.1.3.10.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 7.1.3.10.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

解题步骤 7.1.3.11

化简答案。

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解题步骤 7.1.3.11.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.3.11.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0 \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

解题步骤 7.1.3.11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

解题步骤 7.1.3.11.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

解题步骤 7.1.3.11.1.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

解题步骤 7.1.3.11.1.5

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

解题步骤 7.1.3.11.1.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot 1 + 2 \sin (0)}}$

解题步骤 7.1.3.11.1.7

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 2 \sin (0)}}$

解题步骤 7.1.3.11.1.8

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 2 \cdot 0}}$

解题步骤 7.1.3.11.1.9

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 0}}$

解题步骤 7.1.3.11.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0}}$

解题步骤 7.1.3.11.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 7.1.3.11.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 7.1.3.12

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 7.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 7.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

解题步骤 7.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 7.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.2

根据加法法则， $- x \cos (x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.3.5

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 7.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.4.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.5

化简。

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解题步骤 7.3.5.1

运用分配律。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.5.2

合并项。

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解题步骤 7.3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1 x \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.5.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.5.2.3

从 $- \cos (x)$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.6

根据加法法则， $- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 7.3.7.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.7.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.7.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [4 x \cos (x)]$ 。

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解题步骤 7.3.8.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.8.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.8.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.8.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.8.5

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 7.3.9.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

解题步骤 7.3.9.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \cos (x)}}$

解题步骤 7.3.10

化简。

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解题步骤 7.3.10.1

运用分配律。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - \sin (x) \cdot 2 x + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \cos (x)}}$

解题步骤 7.3.10.2

运用分配律。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - \sin (x) \cdot 2 x + 4 x \cdot - 1 \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

解题步骤 7.3.10.3

合并项。

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解题步骤 7.3.10.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x + 4 x \cdot - 1 \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

解题步骤 7.3.10.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

解题步骤 7.3.10.3.3

从 $- 2 \sin (x) x$ 中减去 $4 x \sin (x)$ 。

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解题步骤 7.3.10.3.3.1

移动 $\sin (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

解题步骤 7.3.10.3.3.2

从 $- 2 x \sin (x)$ 中减去 $4 x \sin (x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

解题步骤 7.3.10.3.4

将 $4 \cos (x)$ 和 $2 \cos (x)$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sin (x) - 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.10

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.11

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.12

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.13

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

解题步骤 8.14

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

解题步骤 8.15

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

解题步骤 9

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 9.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 9.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 9.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 9.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 9.6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 9.7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 9.8

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0 - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.1.2

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2 \cdot 1}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.1.5

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 0 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot 1 - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.2.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.2.5

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.2.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 \cdot 0 + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.2.7

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6 \cos (0)}}$

解题步骤 10.2.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6 \cdot 1}}$

解题步骤 10.2.9

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6}}$

解题步骤 10.2.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 6}}$

解题步骤 10.2.11

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{6}}$

解题步骤 10.3

约去 $- 2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{6}}$

解题步骤 10.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 10.3.2.2

约去公因数。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 10.3.2.3

重写表达式。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{3}}$

解题步骤 10.4

将负号移到分数的前面。

$e^{\frac{1}{2} (- \frac{1}{3})}$

解题步骤 10.5

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 10.5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- \frac{1}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 10.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$e^{- \frac{1}{6}}$

解题步骤 10.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{6}}}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{e^{\frac{1}{6}}}$

小数形式：

$0.84648172 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例