微积分学示例

$f (x) = 5 x^{3} - 15 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $5 x^{3} - 15 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$15 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 x^{2} - 15 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} - 15$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $15 x^{2} - 15$ 。

$15 x^{2} - 15$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $15 x^{2} - 15 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$15 x^{2} - 15 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $15$ 。

$15 x^{2} = 15$

解题步骤 2.3

将 $15 x^{2} = 15$ 中的每一项除以 $15$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $15 x^{2} = 15$ 中的每一项都除以 $15$ 。

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{15}{15}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $15$ 除以 $15$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 2.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $5 x^{3} - 15 x$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$5 {(1)}^{3} - 15 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$5 \cdot 1 - 15 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 - 15 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$5 - 15$

解题步骤 4.1.2.2

从 $5$ 中减去 $15$ 。

$- 10$

解题步骤 4.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$5 {(- 1)}^{3} - 15 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$5 \cdot - 1 - 15 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 - 15 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $- 15$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 + 15$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 5$ 和 $15$ 相加。

$10$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(1, - 10), (- 1, 10)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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