微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4

化简。

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解题步骤 1.3.4.1

重新排序 $2 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4.4

使用正弦倍角公式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 1.3.7.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 - - \sin (x)}$

解题步骤 1.3.7.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + 1 \sin (x)}$

解题步骤 1.3.7.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + \sin (x)}$

解题步骤 1.3.8

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 2.1.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 3.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$2 \frac{\cos (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 5.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

解题步骤 5.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

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