微积分学示例

$lim_{x \to 0} {(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{3}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{3}{x} \ln (1 + 4 x)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{3}{x} \ln (1 + 4 x)}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $\ln (1 + 4 x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{3 \ln (1 + 4 x)}{x}}$

解题步骤 2.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{3 \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将极限移入对数中。

$e^{3 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.1.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{3 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{3 \frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.1.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{3 \frac{\ln (1 + 4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{3 \frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$e^{3 \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{3 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{3 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{3 (\frac{0}{0})}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{3 (\frac{0}{0})}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + 4 x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + 4 x$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $1 + 4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $1 + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 相加。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.7

组合 $4$ 和 $\frac{1}{1 + 4 x}$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.9

将 $\frac{4}{1 + 4 x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.10

重新排序项。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{1}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1} \cdot 1}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{4}{4 x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{3 \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x + 1}}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{3 \cdot 4 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}}$

解题步骤 4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}}$

解题步骤 4.5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}$

解题步骤 4.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + 1}}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$e^{12 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$e^{12 \frac{1}{0 + 1}}$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$e^{12 (\frac{1}{1})}$

解题步骤 6.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$e^{12 (\frac{1}{1})}$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

$e^{12 \cdot 1}$

解题步骤 6.4

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$e^{12}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{12}$

小数形式：

$162754.79141900 \dots$

微积分学 示例

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