微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}{x^{4} - 16}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 16}$

解题步骤 1.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 16}$

解题步骤 1.3

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{x^{4} - 16}$

解题步骤 2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{x^{4} - 16}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{x^{4} - 16}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8 - 8}{x^{4} - 16}$

解题步骤 3.1.3

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$\frac{0}{x^{4} - 16}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{2} - 16}$

解题步骤 3.2.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{2} - 4^{2}}$

解题步骤 3.2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{0}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)}$

解题步骤 3.2.4

化简。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{0}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})}$

解题步骤 3.2.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{0}{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 3.3

用 $0$ 除以 $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 。

$0$

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