微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 1.3.5.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - \sin (x)}$

解题步骤 1.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + 1 \sin (x)}$

解题步骤 1.3.5.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \sin (x)}$

解题步骤 1.3.6

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (x)}$

解题步骤 2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 3.1.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 4.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 4.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{\cos (0)}$ 转换成 $\sec (0)$ 。

$2 \sec (0)$

解题步骤 6.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

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