微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x))}^{2}$

解题步骤 1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

$\sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

解题步骤 2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 3.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 3.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.1

约去公因数。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

重写表达式。

$\frac{2^{1}}{2^{2}}$

$\frac{2^{1}}{2^{2}}$

解题步骤 3.3.5

计算指数。

$\frac{2}{2^{2}}$

$\frac{2}{2^{2}}$

解题步骤 3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{4}$

解题步骤 3.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$