微积分学示例

$lim_{x \to 8} (1 + \sqrt[3]{x}) (2 - 6 x^{2} + x^{3})$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} 1 + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$(1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 4

将极限移入根号内。

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 6 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

解题步骤 6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - lim_{x \to 8} 6 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

解题步骤 7

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

解题步骤 10

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

解题步骤 10.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

解题步骤 10.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$(1 + \sqrt[3]{2^{3}}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

解题步骤 11.1.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$(1 + 2) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

解题步骤 11.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

解题步骤 11.3

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 64 + 8^{3})$

解题步骤 11.3.2

将 $- 6$ 乘以 $64$ 。

$3 \cdot (2 - 384 + 8^{3})$

解题步骤 11.3.3

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \cdot (2 - 384 + 512)$

解题步骤 11.4

从 $2$ 中减去 $384$ 。

$3 \cdot (- 382 + 512)$

解题步骤 11.5

将 $- 382$ 和 $512$ 相加。

$3 \cdot 130$

解题步骤 11.6

将 $3$ 乘以 $130$ 。

$390$

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