微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - (5 x^{3})}{h}$

解题步骤 1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{h}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.1.2

因为项 $5$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.1.3

使用极限幂法则把 ${(x + h)}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.1.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.1.5

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.1.6

计算 $5 x^{3}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{5 {(x + 0)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.3

合并 $5 {(x + 0)}^{3} - 5 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 x^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.3.2

从 $5 x^{3}$ 中减去 $5 x^{3}$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $5$ 对于 $h$ 是常数，所以 $5 {(x + h)}^{3}$ 对 $h$ 的导数是 $5 \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = h^{3}$ 且 $g (h) = x + h$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 u^{2} \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3.2.3

使用 $x + h$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3.3

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3.4

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3.8

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 5 x^{3}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 5 x^{3}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.5

将 $15 {(x + h)}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2}}{1}$

解题步骤 2.4

用 $15 {(x + h)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} 15 {(x + h)}^{2}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $15$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$15 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}$

解题步骤 3.2

使用极限幂法则把 ${(x + h)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$15 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}$

解题步骤 3.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$15 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

解题步骤 3.4

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$15 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$15 {(x + 0)}^{2}$

解题步骤 5

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$15 x^{2}$

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