微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 5$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 8 x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 8 x^{2} + 5 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} - 8 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 8$ 和 $c = 5$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.3

从 $64$ 中减去 $20$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $44$ 重写为 $2^{2} \cdot 11$ 。

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解题步骤 2.4.1.4.1

从 $44$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

解题步骤 2.4.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ 。

$u = 4 \pm \sqrt{11}$

解题步骤 2.5

最终答案为两个解的组合。

$u = 4 + \sqrt{11}, 4 - \sqrt{11}$

解题步骤 2.6

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 7.31662479$

${(x^{2})}^{1} = 0.6833752$

解题步骤 2.7

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = 7.31662479$

解题步骤 2.8

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7.31662479}$

解题步骤 2.8.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.8.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{7.31662479}$

解题步骤 2.8.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{7.31662479}$

解题步骤 2.8.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}$

解题步骤 2.9

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = 0.6833752$

解题步骤 2.10

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.10.1

去掉圆括号。

$x^{2} = 0.6833752$

解题步骤 2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.6833752}$

解题步骤 2.10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.10.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{0.6833752}$

解题步骤 2.10.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{0.6833752}$

解题步骤 2.10.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$

解题步骤 2.11

$x^{4} - 8 x^{2} + 5 = 0$ 的解是 $x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}, \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$ 。

$x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}, \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}, \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$

小数形式：

$x = 2.70492602 \dots, - 2.70492602 \dots, 0.82666511 \dots, - 0.82666511 \dots$

解题步骤 4

微积分学 示例

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