微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 $\frac{{(x + h)}^{2}}{2}$ 。

$\frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{{(x + h)}^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{2}}{h}$

解题步骤 4.1.2

以因式分解的形式重写 $\frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x + h$ 和 $b = x$ 。

$\frac{\frac{(x + h + x) (x + h - x)}{2}}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{(2 x + h) (x + h - x)}{2}}{h}$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{(2 x + h) (h + 0)}{2}}{h}$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{(2 x + h) h}{2}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{(2 x + h) h}{2} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $(2 x + h) h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (2 x + h)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$\frac{h (2 x + h)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$\frac{2 x + h}{2}$

解题步骤 5

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