微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{2}{(x + h) - 3}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{2}{x + h - 3}$ 。

$\frac{2}{x + h - 3}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{x + h - 3} - (\frac{2}{x - 3})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{2}{x + h - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{\frac{2}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{2}{x - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ 。

$\frac{\frac{2}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h - 3) (x - 3)$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{2}{x + h - 3}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{2}{x - 3}$ 乘以 $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ 。

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2 (x + h - 3)}{(x - 3) (x + h - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(x - 3) (x + h - 3)$ 的因式。

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

从 $2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.5.1.1

从 $- 2 (x + h - 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x - 3) + 2 (- (x + h - 3))}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

从 $2 (x - 3) + 2 (- (x + h - 3))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x - 3 - (x + h - 3))}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

运用分配律。

$\frac{\frac{2 (x - 3 - x - h - - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{\frac{2 (x - 3 - x - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{2 (0 - 3 - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\frac{2 (- 3 - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

将 $- h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

合并指数。

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解题步骤 4.1.5.8.1

提取负因数。

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

将 $- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

从 $- 2 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$\frac{- 2}{(x + h - 3) (x - 3)}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{(x + h - 3) (x - 3)}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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