微积分学示例

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = a {(x + h)}^{2} + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = a ((x + h) (x + h)) + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = a (x (x + h) + h (x + h)) + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = a (x \cdot x + x h + h (x + h)) + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2.1.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = a (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = a (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2.1.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = a (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = a (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = a (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2.1.4

运用分配律。

$f (x + h) = a x^{2} + a (2 h x) + a h^{2} + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$f (x + h) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b (x + h) + c$

解题步骤 2.1.2.1.6

运用分配律。

$f (x + h) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$ 。

$a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $b x$ 。

$a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b h + b x + c$

解题步骤 2.2.2

移动 $a x^{2}$ 。

$2 a h x + a h^{2} + a x^{2} + b h + b x + c$

解题步骤 2.2.3

将 $2 a h x$ 和 $a h^{2}$ 重新排序。

$a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

$f (x + h) = a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - (a x^{2} + b x + c)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - (a x^{2}) - (b x) - c}{h}$

解题步骤 4.1.2

去掉圆括号。

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - a x^{2} - b x - c}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $a x^{2}$ 中减去 $a x^{2}$ 。

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + b h + b x + c + 0 - b x - c}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $a h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 a h x + b h + b x + c + a h^{2} - b x - c}{h}$

解题步骤 4.1.5

从 $b x$ 中减去 $b x$ 。

$\frac{2 a h x + b h + c + a h^{2} + 0 - c}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $2 a h x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{b h + c + a h^{2} + 2 a h x - c}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $c$ 中减去 $c$ 。

$\frac{b h + a h^{2} + 2 a h x + 0}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $b h + a h^{2} + 2 a h x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{b h + a h^{2} + 2 a h x}{h}$

解题步骤 4.1.9

从 $b h + a h^{2} + 2 a h x$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

从 $b h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h b + a h^{2} + 2 a h x}{h}$

解题步骤 4.1.9.2

从 $a h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (b) + h (a (h)) + 2 a h x}{h}$

解题步骤 4.1.9.3

从 $2 a h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (b) + h (a (h)) + h (2 a x)}{h}$

解题步骤 4.1.9.4

从 $h (b) + h (a (h))$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (b + a (h)) + h (2 a x)}{h}$

解题步骤 4.1.9.5

从 $h (b + a (h)) + h (2 a x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (b + a (h) + 2 a x)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (b + a (h) + 2 a x)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $b + a h + 2 a x$ 除以 $1$ 。

$b + a h + 2 a x$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $b$ 。

$a h + 2 a x + b$

解题步骤 4.2.2.2

将 $a h$ 和 $2 a x$ 重新排序。

$2 a x + a h + b$

解题步骤 5

微积分学 示例

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