微积分学示例

$f (x) = 6 \sqrt{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 6 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = 6 \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} + C$

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