微积分学示例

$f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 x^{\frac{1}{4}} d x + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

解题步骤 4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int x^{\frac{1}{4}} d x + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{4}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ 。

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

解题步骤 6

由于 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 7$ 移到积分外。

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - 7 \int x^{\frac{3}{4}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{3}{4}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ 。

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - 7 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$5 (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.3

约去 $20$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 4}{5 (1)} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.3.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.4

组合 $- 7$ 和 $\frac{4}{7}$ 。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 7 \cdot 4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.5

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 28}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.6

约去 $- 28$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.1

从 $- 28$ 中分解出因数 $7$ 。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.6.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7 (1)} x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.6.2.2

约去公因数。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7 \cdot 1} x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.6.2.3

重写表达式。

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 4}{1} x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 8.2.6.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$4 x^{\frac{5}{4}} - 4 x^{\frac{7}{4}} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $4 x^{\frac{5}{4}} - 4 x^{\frac{7}{4}} + C$

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