微积分学示例

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

解题步骤 3

使 $u = 4 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 4 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $4 - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 3.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

解题步骤 4

展开 $- (- u + 4) u^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

解题步骤 4.3

移动括号。

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

解题步骤 4.5

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

解题步骤 4.6

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

解题步骤 4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

解题步骤 4.8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

解题步骤 4.9

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

解题步骤 7

由于 $- 4$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

解题步骤 10

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

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