微积分学示例

$f (x) = 7 x^{4} - 6 x^{5} + 5 x^{2} + c$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 7 x^{4} - 6 x^{5} + 5 x^{2} + c d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 7 x^{4} d x + \int - 6 x^{5} d x + \int 5 x^{2} d x + \int c d x$

解题步骤 4

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int x^{4} d x + \int - 6 x^{5} d x + \int 5 x^{2} d x + \int c d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 6 x^{5} d x + \int 5 x^{2} d x + \int c d x$

解题步骤 6

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 \int x^{5} d x + \int 5 x^{2} d x + \int c d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 5 x^{2} d x + \int c d x$

解题步骤 8

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5 \int x^{2} d x + \int c d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int c d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$7 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + c x + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

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解题步骤 11.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$7 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + c x + C$

解题步骤 11.1.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$7 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{6}}{6} + C) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + c x + C$

解题步骤 11.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$7 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{6}}{6} + C) + 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + c x + C$

解题步骤 11.2

化简。

$\frac{7 x^{5}}{5} - x^{6} + \frac{5 x^{3}}{3} + c x + C$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{7}{5} x^{5} - x^{6} + \frac{5}{3} x^{3} + c x + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 7 x^{4} - 6 x^{5} + 5 x^{2} + c$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{7}{5} x^{5} - x^{6} + \frac{5}{3} x^{3} + c x + C$

微积分学 示例

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