微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \int x^{- 3} d x + \int 9 x^{5} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

解题步骤 7.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 9 x^{5} d x$

解题步骤 8

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 \int x^{5} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{- 1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 \frac{x^{6}}{6} + C$

解题步骤 10.2.3

组合 $9$ 和 $\frac{x^{6}}{6}$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9 x^{6}}{6} + C$

解题步骤 10.2.4

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.1

从 $9 x^{6}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{6} + C$

解题步骤 10.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 (2)} + C$

解题步骤 10.2.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

解题步骤 10.2.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{6}}{2} + C$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$

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