微积分学示例

$\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt[4]{x^{3}} d x + \int \sqrt[3]{x^{4}} d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{4}}$ 。

$\int x^{\frac{3}{4}} d x + \int \sqrt[3]{x^{4}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{3}{4}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ 。

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \int \sqrt[3]{x^{4}} d x$

解题步骤 7

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{4}}$ 重写成 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \int x^{\frac{4}{3}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ 。

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

解题步骤 9

化简。

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

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