微积分学示例

$f''' (x) = \cos (x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f''' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f'' (x)$ 。

$f'' (x) = \int f''' (x) d x$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) + C$

解题步骤 3

函数 $f''$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f'' (x) = \sin (x) + C$

解题步骤 4

通过计算导数 $f'' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f' (x)$ 。

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sin (x) d x + \int C d x$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$- \cos (x) + C + \int C d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$- \cos (x) + C + C x + C$

解题步骤 8

化简。

$- \cos (x) + C x + C$

解题步骤 9

函数 $f'$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f' (x) = - \cos (x) + C x + C$

解题步骤 10

通过计算导数 $f' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f (x)$ 。

$f (x) = \int f' (x) d x$

解题步骤 11

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \cos (x) d x + \int C x d x + \int C d x$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \cos (x) d x + \int C x d x + \int C d x$

解题步骤 13

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$- (\sin (x) + C) + \int C x d x + \int C d x$

解题步骤 14

由于 $C$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $C$ 移到积分外。

$- (\sin (x) + C) + C \int x d x + \int C d x$

解题步骤 15

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\sin (x) + C) + C (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int C d x$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$- (\sin (x) + C) + C (\frac{1}{2} x^{2} + C) + C x + C$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- (\sin (x) + C) + C (\frac{x^{2}}{2} + C) + C x + C$

解题步骤 17.2

化简。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} C x^{2} + C x + C$

解题步骤 18

函数 $f$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f (x) = - \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot (C x^{2}) + C x + C$

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