微积分学示例

$x (t) = 5 \cos (t)$ , $y (t) = 5 \sin (t)$

解题步骤 1

建立 $x (t)$ 的参数方程以求解 $t$ 方程。

$x = 5 \cos (t)$

解题步骤 2

将方程重写为 $5 \cos (t) = x$ 。

$5 \cos (t) = x$

解题步骤 3

将 $5 \cos (t) = x$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $5 \cos (t) = x$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $\cos (t)$ 除以 $1$ 。

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

解题步骤 4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $t$ 。

$t = \arccos (\frac{x}{5})$

解题步骤 5

将方程中的 $t$ 替换为 $y$ ，以得出 $x$ 形式的方程。

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

解题步骤 6

去掉圆括号。

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

解题步骤 7

化简 $5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ 。

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解题步骤 7.1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 7.1.1

在平面中画出顶点为 $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ 、 $(\frac{x}{5}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (\frac{x}{5})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ 。

$y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

解题步骤 7.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

解题步骤 7.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{5}$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

解题步骤 7.3

化简项。

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解题步骤 7.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

解题步骤 7.3.2

在公分母上合并分子。

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

解题步骤 7.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

解题步骤 7.3.4

在公分母上合并分子。

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

解题步骤 7.3.5

将 $\frac{5 + x}{5}$ 乘以 $\frac{5 - x}{5}$ 。

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 7.3.6

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

解题步骤 7.4

将 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ 重写为 ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ 。

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解题步骤 7.4.1

从 $(5 + x) (5 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

解题步骤 7.4.2

从 $25$ 中因式分解出完全幂数 $5^{2}$ 。

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 7.4.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ 。

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

解题步骤 7.5

从根式下提出各项。

$y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})$

解题步骤 7.6

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 。

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

解题步骤 7.7

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.1

约去公因数。

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

解题步骤 7.7.2

重写表达式。

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

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