微积分学示例

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

解题步骤 1

将 $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $3 x^{2} - 12 x + 9$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 12 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $6 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x - 12$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

求微分。

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解题步骤 5.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $3 x^{2} - 12 x + 9$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 12 x + 9$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

解题步骤 6.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

从 $3 x^{2} - 12 x + 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

解题步骤 6.2.1.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

解题步骤 6.2.1.3

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

解题步骤 6.2.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

解题步骤 6.2.1.5

从 $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

解题步骤 6.2.2

因数。

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解题步骤 6.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $- 4$ 。

$- 3, - 1$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

解题步骤 6.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 6.6

最终解为使 $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 3, 1$

解题步骤 9

计算在 $x = 3$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (3) - 12$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$18 - 12$

解题步骤 10.2

从 $18$ 中减去 $12$ 。

$6$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 3$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 3$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 3$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = {(3)}^{3} - 6 {(3)}^{2} + 9 (3) + 1$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = 27 - 6 {(3)}^{2} + 9 (3) + 1$

解题步骤 12.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = 27 - 6 \cdot 9 + 9 (3) + 1$

解题步骤 12.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = 27 - 54 + 9 (3) + 1$

解题步骤 12.2.1.4

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = 27 - 54 + 27 + 1$

解题步骤 12.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 12.2.2.1

从 $27$ 中减去 $54$ 。

$f (3) = - 27 + 27 + 1$

解题步骤 12.2.2.2

将 $- 27$ 和 $27$ 相加。

$f (3) = 0 + 1$

解题步骤 12.2.2.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (3) = 1$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 13

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (1) - 12$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 - 12$

解题步骤 14.2

从 $6$ 中减去 $12$ 。

$- 6$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 9 (1) + 1$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 6 {(1)}^{2} + 9 (1) + 1$

解题步骤 16.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1 + 9 (1) + 1$

解题步骤 16.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 6 + 9 (1) + 1$

解题步骤 16.2.1.4

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 6 + 9 + 1$

解题步骤 16.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 16.2.2.1

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$f (1) = - 5 + 9 + 1$

解题步骤 16.2.2.2

将 $- 5$ 和 $9$ 相加。

$f (1) = 4 + 1$

解题步骤 16.2.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = 5$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $5$ 。

$y = 5$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ 的局部极值。

$(3, 1)$ 是一个局部最小值

$(1, 5)$ 是一个局部最大值

解题步骤 18

微积分学 示例

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